Question

【題目】已知函數(shù)，（其中， 為自然對數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）1.

【解析】試題分析：（1）求出的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)時(shí)， ， 無極值；當(dāng)時(shí)，由，得，求得單調(diào)區(qū)間，可得在處取到極小值，且極小值為，無極大值；（2）令，則直線與曲線沒有公共點(diǎn)方程在上沒有實(shí)數(shù)解，分與討論即可得答案.

試題解析：（Ⅰ）

（ⅰ）當(dāng)時(shí)， ， 在上為增函數(shù)，所以函數(shù)無極值；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)， ，得

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

故在處取得極小值，且極小值為，無極大值.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

令

則若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程在上沒有實(shí)數(shù)根

當(dāng)時(shí)，

又函數(shù)的圖象在定義域上連續(xù)，可知方程在上至少有一實(shí)數(shù)根，與方程在上沒有實(shí)數(shù)根矛盾，故

當(dāng)時(shí)， ，知方程在上沒有實(shí)數(shù)根

所以的最大值為1.