Question

在R上定義的函數f(x)是偶函數，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在區間[1,2]上是減函數，則f(x)                                                                             (　　)

A．在區間[－2，－1]上是增函數，在區間[3,4]上是增函數

B．在區間[－2，－1]上是增函數，在區間[3,4]上是減函數

C．在區間[－2，－1]上是減函數，在區間[3,4]上是增函數

D．在區間[－2，－1]上是減函數，在區間[3,4]上是減函數

思路　根據函數是偶函數和關系式f(x)＝f(2－x)，可得函數圖像的兩條對稱軸，只要結合這個對稱性就可以逐次作出這個函數的圖像，結合圖像對問題作出結論．

Answer 1

B

解析　方法一　由函數是偶函數，知函數的圖像關于y軸對稱，函數在區間[－2，－1]上的單調性與在區間[1,2]上的單調性相反，為增函數； 由f(x)＝f(2－x)知函數的圖像關于直線x＝1對稱，故函數在區間[3,4]上的單調性與在區間[－2，－1]上的單調性相反，為減函數．故選B.

方法二　求解本題的難點在于函數的抽象性，化解難點的基本思想是充分利用函數的性質進行推理，如根據函數是偶函數可得f(－x)＝f(x)，再根據f(x)＝f(2－x)，把其中的x換成－x可得f(－x)＝f(2＋x)，即f(x)＝f(x＋2)，即函數是周期為2的偶函數，再根據f(x)＝f(2－x)推知函數圖像關于直線x＝1對稱．