Question

在R上定義的函數f（x）是偶函數，且f（x）=f（2-x），若f（x）在區間[1，2]上是減函數，則f（x）在區間[-2，-1]上是（　　）函數，在區間[3，4]上是（　　）函數．

A、增，增

B、減，減

C、減，增

D、增，減

Answer 1

分析：先利用偶函數在關于原點對稱的區間上單調性相反得到f（x）在區間[-2，-1]上是增函數；再借助于偶函數的定義以及f（x）=f（2-x），得到函數周期為2即可求出在區間[3，4]上的單調性．

解答：解：因為函數f（x）是偶函數，而偶函數在關于原點對稱的區間上單調性相反，
所以f（x）在區間[-2，-1]上是增函數．
又因為f（x）=f（2-x），且f（x）=f（-x），
故有f（-x）=f（2-x），即函數周期為2．
所以區間[3，4]上的單調性和區間[1，2]上單調性相同，
即在區間[3，4]上是減函數．
故選：D．

點評：本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合問題．解決本題的關鍵在于借助于偶函數的定義以及f（x）=f（2-x），得到函數周期為2．