Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是BB₁上的點.

(Ⅰ)試確定E的位置，使AE⊥平面A₁D₁E；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，求二面角E-AD₁-A的大小；(用反三角函數表示)

(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，求A到平面C₁D₁E的距離.

Answer 1

解：(Ⅰ)在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,A₁D₁⊥面ABB₁A₁

∴A₁D₁⊥AE,要AE⊥平面A₁D₁E,只要AE⊥A₁E

又AB=1,BB₁=2,設BE=t

故=A₁E²+AE²4=1+t²+1+(2-t)²當t=1

故E為BB₁的中點 

另法：向量法可參照記分

(Ⅱ)取AA₁中點O,連OE,則OE⊥AA₁又OE⊥A₁D₁,于是,OE⊥平面AOD₁A₁過O作OF⊥AD₁于F,連EF、則AD₁⊥EF

∴∠EFO為二面角E-AD₁-A₁的平面角 

在△AOF中,OF=OA·sin∠OAF=∴tan∠EFO=

∴故二面角E-AD₁-A₁的大小為arctan

另法：向量法可參照記分

(Ⅲ)∵AB∥C₁D₁  ∴AB∥平面C₁D₁E

∴A到平面C₁D₁E的距離等于B點到平面C₁D₁E的距離而平面C₁D₁E⊥平面BC₁,延長C₁E與CB的延長線交于N,則平面C₁D₁E與平面BCC₁E垂直,過B作BM⊥C₁N于M,則BM⊥平面C₁D₁E,BM的長就是B點到平面C₁D₁E的距離   

故EN·BM=BE·BN××BM=×1×1∴BM=    

另法：用等積法、向量法可參照記分