Question

（2012•泉州模擬）已知A₁，A₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右頂點，橢圓C上異于A₁，A₂的點P恒滿足kPA1•kPA2=-

4

9

，則橢圓C的離心率為（　　）

• A．

  4

  9

• B．

  2

  3

• C．

  5

  9

• D．

  5

  3

Answer 1

分析：利用斜率公式計算斜率，可得P的軌跡方程，即為橢圓C，從而可求橢圓的離心率．

解答：解：設P（x，y），則kPA1•kPA2=

y

x+a

×

y

x-a

=-

4

9

∴

x2

a2

+

y2

4 9 a2

=1，即為P的軌跡方程
∵橢圓C上異于A₁，A₂的點P恒滿足kPA1•kPA2=-

4

9

，
∴該方程即為橢圓C
∴橢圓C的離心率為e=

c

a

=

a2- 4a2 9

a

=

5

3

故選D．

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查恒成立問題，屬于中檔題．