Question

某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得10萬元到1000萬元的投資收益．現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
（1）若建立函數y=f（x）模型制定獎勵方案，試用數學語言表述該公司對獎勵函數f（x）模型的基本要求，并分析函數y=

x

150

+2是否符合公司要求的獎勵函數模型，并說明原因；
（2）若該公司采用模型函數y=

10x-3a

x+2

作為獎勵函數模型，試確定最小的正整數a的值．

Answer 1

分析：（1）設獎勵函數模型為y=f（x），根據“獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，說明在定義域上是增函數，且獎金不超過9萬元，即f（x）≤9，同時獎金不超過投資收益的20%，即f（x）≤

x

5

．對于函數模型，由一次函數的性質研究，是否滿足第一，二兩個條件，利用反例研究是否滿足第三個條件；
（2）對于函數模型f（x）=

10x-3a

x+2

，即f（x）=10-

3a+20

x+2

當3a+20＞0，即a＞-

20

3

時遞增，利用f（1000）≤9，

10x-3a

x+2

≤

x

5

，即可確定a的范圍，從而可求滿足條件的最小的正整數a的值．

解答：解：（1）設獎勵函數模型為y=f（x），則公司對函數模型的基本要求是：
當x∈[10，1000]時，①f（x）是增函數；②f（x）≤9恒成立；③f（x）≤

x

5

恒成立．
對于函數模型f（x）=

x

150

+2：當x∈[10，1000]時，f（x）是增函數，則f（x）max=f（1000）=

1000

150

+2=

20

3

+2＜9
所以f（x）≤9恒成立．
因為x10時，f（10）=

1

15

+2＞

10

5

，所以，f（x）≤

x

5

不恒成立．
故該函數模型不符合公司要求；
（2）對于函數模型f（x）=

10x-3a

x+2

，即f（x）=10-

3a+20

x+2

當3a+20＞0，即a＞-

20

3

時遞增，
為要使f（x）≤9對x∈[10，1000]時恒成立，即f（1000）≤9
∴3a+18≥1000，∴a≥

982

3

為要使f（x）≤

x

5

對x∈[10，1000]時恒成立，即

10x-3a

x+2

≤

x

5

，∴x²-48x+15a≥0恒成立，∴a≥

192

5

綜上，a≥

982

3

，所以滿足條件的最小的正整數a的值為328．

點評：本題主要考查函數模型的選擇，其實質是考查函數的基本性質，同時，確定函數關系實質就是將文字語言轉化為數學符號語言--數學化，再用數學方法定量計算得出所要求的結果，關鍵是理解題意，將變量的實際意義符號化．