Question

關于二次函數f（x）=x²+（m-1）x+1
（1）若?x∈R，f（x）＞0恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）若方程f（x）=0在區間[0，2]上有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得△=（m-1）²-4＜0，解不等式可求
（2）由f（0）=1≠0可知f（x）=0在區間（0，2]上有解，由x²+（m-1）x+1=0得m=1-（x+

1

x

），結合基本不等式可求m的范圍

解答：解：（1）∵?x∈R，f（x）＞0恒成立，
∴△=（m-1）²-4＜0
∴m²-2m-3＜0
解得-1＜m，3…（5分）
（2）∵f（x）=0在區間[0，2]上有解，又f（0）=1≠0
∴f（x）=0在區間（0，2]上有解
由x²+（m-1）x+1=0得m=1-（x+

1

x

）…（8分）
當0＜x≤2時，x+

1

x

≥2由（1）m≤1-2=-1
因此實數m的取值范圍是：（-∞，-1]…（12分）

點評：本題主要考查了二次函數的恒成立與基本不等式在函數的最值求解中的應用，解題的關鍵是熟練掌握基本知識