Question

【題目】斜率為的直線與拋物線交于兩點，且的中點恰好在直線上.

（1）求的值；

（2）直線與圓交于兩點，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）設直線的方程為，代入拋物線的方程，利用韋達定理得到，由的中點在上，即可求解；

（2）根據圓的弦長公式，分別求解，利用求得實數的值，進而得到答案.

（1）設直線l的方程為y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得，x2－2kx－2m＝0，

＝4k2＋8m，

x1＋x2＝2k，x1x2＝－2m，

因為AB的中點在x＝1上，

所以x1＋x2＝2．

即2k＝2，

所以k＝1．

（2）O到直線l的距離d＝，|CD|＝2，

所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝2·，

因為|AB|＝|CD|,

所以2·＝2，

化簡得m2＋8m－20＝0，

所以m＝－10或m＝2．

由得－＜m＜2．

所以m＝2，

直線l的方程為y＝x＋2．