Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊是a、b、c．
（I）若a，b，c成等比例數列，求角B的范圍；
（II）若acosB+bcosA=2ccosC，且sinA=2sinB，邊c∈(

1

2

，4]時，求△ABC面積的范圍．

Answer 1

分析：（I）因為a，b及c成等比數列，利用等比數列的性質列出關系式，設a≤b≤c，再利用余弦定理表示出cosB，把列出的關系式代入，并利用基本不等式a²+c²≥2ac，得出cosB的范圍，由B為三角形的內角，利用余弦函數的圖象與性質即可得出角B的范圍；
（II）利用正弦定理化簡acosB+bcosA=2ccosC，并根據三角形的內角和定理及誘導公式變形，根據sinC不為0，得到cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值可得C的度數，再利用正弦定理化簡sinA=2sinB，得到a=2b，利用余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，把a=2b及cosC的值代入，得到c=

3

b，可得b=

3

3

c，利用三角形的面積公式S=

1

2

absinC，把sinC的值，及a=2b代入，并將b=

3

3

c代入，用c²表示出三角形的面積，然后由c的范圍得到c²的范圍，進而確定出三角形面積的范圍．

解答：解：（I）由題意知a，b，c成等比數列，
∴b²=ac，
不妨設a≤b≤c，
由余弦定理得 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
根據B為三角形內角，可得0＜B≤

π

3

，
則角B的范圍為（0，

π

3

]；
（II）∵bcosA+acosB=2ccosC，①
由正弦定理知，b=2RsinB，a=2RsinA，c=2RsinC，②（2分）
將②式代入①式，得2sinBcosA+2sinAcosB=4sinCcosC，
化簡，得sin（A+B）=2sinCcosC．（5分）
又sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
∴sinC=2sinCcosC，
∵sinC≠0，
∴cosC=

1

2

，
∴C=

π

3

，
將②代入sinA=2sinB得：a=2b，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
把a=2b代入得：c²=4b²+b²-2b²=3b²，
∴c=

3

b，即b=

3

3

c，
∵a=2b，sinC=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

×2b²=

3

6

c²，
又c∈（

1

2

，4]，
∴c²∈（

1

4

，16]，
∴

3

24

＜

3

6

c²≤

8 3

3

，
則S_△ABC的范圍為（

3

24

，

8 3

3

]．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，誘導公式，三角形的面積公式，等比數列的性質，基本不等式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．