設函數
.
（1）研究函數
的極值點；
（2）當
時，若對任意的
，恒有
，求
的取值范圍；
（3）證明：
.
（1）詳見解析；（2）實數的取值范圍是
；（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）先求出函數
的導數
，對的符號進行分類討論，即對函數是否存在極值點進行分類討論，結合函數的單調性或導數符號確定函數的極大值或極小值；（2）利用（1）中的結論，將問題轉化為
，結合（1）中的結論列不等式解參數的取值范圍；（3）在（2）中，令
，得到不等式
在
上恒成立，然后令
得到
，兩邊同除以
得到
，結合放縮法得到
，最后；利用累加法即可得到所證明的不等式.
試題解析：（1）
，
當
上無極值點
當p>0時，令
的變化情況如下表：
從上表可以看出：當p>0 時，x (0， 
)
+ 0 － 
↗ 極大值 ↘ 有唯一的極大值點
（2）當時在
處取得極大值
，
此極大值也是最大值，要使
恒成立，只需
，
∴
，即p的取值范圍為[1，+∞
；
（3）令，由（2）知，
∴
，∴
，
∴
,∴結論成立
另解：設函數
，則
，令
，解得
，則
，
∴
口算題卡加應用題集訓系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）已知函數
，
.
（1）若
恒成立，求實數
的值；
（2）若方程
有一根為
，方程
的根為
，是否存在實數，使
？若存在，求出所有滿足條件的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在實數集R上定義運算：
（Ⅰ）求
的解析式；
（Ⅱ）若在R上是減函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若
，在的曲線上是否存在兩點，使得過這兩點的切線互相垂直？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
．
(Ⅰ)求函數
的最小值；
(Ⅱ)求證：
；
(Ⅲ)對于函數
與
定義域上的任意實數
，若存在常數
，使得
和
都成立，則稱直線
為函數與的“分界線”.設函數
，
，與是否存在“分界線”？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
的反函數為
，設
的圖象上在點
處的切線在y軸上的截距為
，數列{
}滿足：
（Ⅰ）求數列{}的通項公式；
（Ⅱ）在數列
中，僅
最小，求
的取值范圍；
（Ⅲ）令函數
數列
滿足
,求證：對一切n≥2的正整數都有
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數
，
.
（1）當
時，函數
在
處有極小值，求函數
的單調遞增區間；
（2）若函數
和
有相同的極大值，且函數
在區間
上的最大值為
，求實數
的值（其中
是自然對數的底數）.
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．
時，如果函數
僅有一個零點，求實數
的取值范圍；
時，試比較
與1的大小；
在
與
時，都取得極值．
的值；
，求
的單調區間和極值；
都有
恒成立，求
的取值范圍．
.
的單調區間；
，
總成立，求實數
的取值范圍.