Question

【題目】已知函數；

（1）當時，若，求的取值范圍；

（2）若定義在上的奇函數滿足，且當，，求在上的解析式；

（3）對于（2）中的，若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據對數函數的真數部分大于0，及對數的運算性質，可將不等式化為，且且，解不等式組可得的取值范圍；

（2）利用奇偶性得出，，轉化得出當時，，當時，根據函數的奇偶性求解即可．

（3）關于的不等式關于的不等式在上恒成立，等價于在上恒成立，即，分類討論后，綜合討論結果，可得實數的取值范圍．

解：（1）原不等式可化為，

，且，且，

得．

（2），，

所以的周期為：4，

當時，，

當時，，

定義在上的奇函數，

，即，

當時，，

當時，，

當時，，

（3）關于的不等式在上恒成立，

記，

關于的不等式在上恒成立，

在上恒成立，

當時，，

，即解得．

當，即時，，，即滿足條件;

當時，，

由在上恒成立，

得，解得．

綜上所述，實數的取值范圍是．