Question

如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，，是中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）當(dāng)為何值時，二面角為．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

解析試題分析：（1）再由等腰三角形中線即為高線可得，由平面可得，由為矩形可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，從而可得。再由等腰三角形中線即為高線可得，由線面垂直的判定定理可證得平面。（2）（空間向量法）以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)。可得各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得個向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直數(shù)量積為0先兩個面的法向量.因?yàn)閮煞ㄏ蛄克�成的角與二面角相等或互補(bǔ)，所以兩法向量夾角的余弦值的絕對值等于。從而可得的值。
證明⑴ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2a/3/3ujoz.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/03/3/fza0d.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形，所以．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/31/2/onp1c.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/12/5/qnpvv.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/28/2/eahag1.png" style="vertical-align:middle;" />，是中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5c/6/qevpt3.png" style="vertical-align:middle;" /> 所以平面．
⑵
解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2a/3/3ujoz.png" style="vertical-align:middle;" />平面，，
所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，，．
所以，．
設(shè)平面的法向量為，則所以
令，得，，
所以．
平面的法向量為．
所以