Question

已知x=1為奇函數f（x）=

1

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ax³+bx²+（a²-6）x的極大值點，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若P（m，n）在曲線y=f（x）上，證明：過點P作該曲線的切線至多存在兩條．

Answer 1

分析：（1）可得b=0，即得f（x）的解析式，求其導數令其為0，可得a值，由極值的定義驗證即可；（2）由（1）知n=-m³+3m，設切點為（x₀，-x03+3x0），可得切線方程為y-（-x03+3x0）=（-3x02+3）（x-x₀），代入點P的坐標，可得m和x₀的方程，分解因式可得(x0-m)2(x0-

-m

2

)=0，分m=0和m≠0來考慮可得．

解答：解：（1）由已知f（x）為奇函數，故b=0，
所以f（x）=

1

3

ax³+（a²-6）x，f′（x）=ax²+a²-6，
由極值的條件可得f′（1）=a+a²-6=0，
解得a=-3或a=2，
當a=2時，x=1為f（x）的極小值點，與已知矛盾，舍去．
故f（x）=-x³+3x；
（2）由（1）知n=-m³+3m，設切點為（x₀，-x03+3x0），
則切線方程為y-（-x03+3x0）=（-3x02+3）（x-x₀）．
P點在切線上，有-m³+3m-（-x03+3x0）=（-3x02+3）（m-x₀），
即-(m3-x03)+3(m-x0)=(-3x02+3)(m-x0)，
分解因式可得-(m-x0)(m2+mx0+x02)+3(m-x0)=(-3x02+3)(m-x0)，
即（x₀-m）（2x02-mx0-m2）=0，即(x0-m)2(x0-

-m

2

)=0，
當m=0時，x₀=0，此時原曲線僅有一條切線；
當m≠0時，x₀=m，或x₀=-

m

2

，此時原曲線有兩條切線．
故過點P作該曲線的切線至多存在兩條．

點評：本題考查導數與極值的關系，涉及曲線的切線和分類討論的思想，屬中檔題．