Question

如圖四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上，O為AC與BD的交點．

(1)求證：平面；

(2)當E為PB中點時，求證：OE∥平面PDA，OE∥平面PDC．

(3)當且E為PB的中點時，求AE與平面PBC所成的角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD， 　　∵， 　　∴PD⊥AC， 　　∴AC⊥平面PDB， 　　又平面AEC 　　∴平面． 　　(2)∵四邊形ABCD是正方形，，在中，又 　　∥，又 　　∥平面PDA，同理可證∥平面PDC． 　　(3)∵，，又 　　所以，可以D為坐標原點建立如圖的空間直角坐標系D－xyz．設AB＝1．則 　　D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，)， 　　從而，，， 　　設平面PBC的一個法向量為．由得 　　令z＝1，得．設AE與平面PBC所成的角，則 　　 　　與平面PBC所成的角的正弦值為．