Question

【題目】已知函數

（1）求函數的極值

（2）定義：若函數在區間 上的取值范圍為，則稱區間為函數的“美麗區間”．試問函數在上是否存在“美麗區間”？若存在，求出所有符合條件的“美麗區間”；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】(1)當時，函數有極大值為1，當時，函數有極小值為．(2)見解析.

【解析】

（1）利用函數的正負性，來求原函數的單調區間，可得函數的極值；
（2）據“域同區間”的定義得到，則方程有兩個大于3的相異實根．，然后利用方程根的情況列式求解，即可得出結論．

（1）因為，

所以 ．

令，可得或．

則在上的變化情況為：

		1		3
	+	0	－	0	+
	增函數	1	減函數		增函數

所以當時，函數有極大值為1，當時，函數有極小值為．

（2）假設函數在上存在“美麗區間” ，

由（1）知函數在上單調遞增．

所以即

也就是方程有兩個大于3的相異實根．

設 ，

則．

令 ，解得，．

當時， ，當時， ，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．

因為，，，

所以函數在區間上只有一個零點．

這與方程有兩個大于3的相異實根相矛盾，所以假設不成立．

所以函數在上不存在“美麗區間”．