Question

設a＞0且a≠1，f(x)=loga(x+

x2-1

)（x≥1）
（1）求函數f（x）的反函數f^-1（x）及其定義域．（2）若f-1(n)＜

3n+3-n

2

(n∈N*)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）、求出函數f（x）的反函數f^-1（x）后，分a＞1和0＜a＜1兩種情況求反函數f^-1（x）的定義域．
（2）、把反函數中的x換成n，然后按不等多的運算法則進行求解．

解答：解（Ⅰ）∵f(x)=loga(x+

x2-1

)（x≥1），
∴ay=x+ 

x2-1

(x≥1)，∴

x2-1

=ay-x，
∴a^2y-2a^yx+1=0，（x≥1），∴x=

a2y+1

2ay

=

ay+a-y

2

，
互換x，y得f-1(x)=

ax+a-x

2

．
當a＞1時，定義域為[0，+∞）
當0＜a＜1時，定義域為（-∞，0]
（Ⅱ）f-1(n)＜

3n+3-n

2

(n∈N*)，由（1）中反函數f^-1（x）定義域可得a＞1，
即

an+a-n

2

＜

3n+3-n

2

即（aⁿ-3ⁿ）[（3a）ⁿ-1]＜0
即

an-3n＜0 (3a)n-1＞0

∴

1

3

＜a＜3，
又由a＞1，則a的取值范圍是（1，3）．

點評：根據指數函數和對數函數的性質正確求出函數f（x）的反函數f^-1（x）是解題的關鍵．