Question

已知

a

，

b

是非零向量，

a

與

b

的夾角為θ，當

a

+t

b

（t∈R）的模取得最小值時．
（1）求t的值；
（2）若

a

與

b

同向共線，求證：

b

⊥(

a

+t

b

)．

Answer 1

（1）∵|

a

+t

b

|=

( a +t b )2

=

a 2+2t a • b +t2 b 2

=

a 2+2t| a || b |cosθ+ b 2

t²
=

b 2(t+ | a | | b | cosθ)2+| a |sin2θ

根據二次函數的知識可得，當t=-

| a |

| b |

cosθ=-

| a || b |

| b |2

cosθ=

a • b

| b |2

×（-1）時，|

a

+t

b

|取得最小值．
（2）證明：

b

•(

a

+t

b

)=

b

•(

a

-

a • b

| b |2

•

b

)=

b

•

a

-

a • b

| b |2

•

b

2=

a

•

b

-

a

•

b

=0
∴

b

⊥(

a

+t

b

)．