Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線均與圓x²+y²-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點與圓x²+y²-6x+5=0的圓心重合，則雙曲線的方程是（　　）

• A．

  x2

  5

  -

  y2

  4

  =1
• B．

  x2

  4

  -

  y2

  5

  =1
• C．

  x2

  6

  -

  y2

  3

  =1
• D．

  x2

  3

  -

  y2

  6

  =1

Answer 1

分析：先利用圓的一般方程，求得圓心坐標和半徑，從而確定雙曲線的焦距，得a、b間的一個等式，再利用直線與圓相切的幾何性質，利用圓心到漸近線距離等于圓的半徑，得a、b間的另一個等式，聯立即可解得a、b的值，從而確定雙曲線方程．

解答：解：∵圓C：x²+y²-6x+5=0的圓心C（3，0），半徑r=2
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點坐標為（3，0），
即c=3，∴a²+b²=9，①
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為bx-ay=0，
∴C到漸近線的距離等于半徑，即

3b

a2+b2

=2，②
由①②解得：a²=5，b²=4
∴該雙曲線的方程為

x2

5

-

y2

4

=1．
故選A．

點評：本題主要考查了圓的一般方程，直線與圓的位置關系及其應用，雙曲線的標準方程及其求法，雙曲線的幾何性質及其運用，解題時要認真審題，仔細解答．