Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求證：；

（2）討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）證法一：令，利用導數求出函數的最小值為（其中為函數的極小值點），然后利用基本不等式即可得出證明；

證法二：先證明成立，再證明出不等式，利用不等式的基本性質可得出；

（2）令，得出，等式兩邊取對數得，構造函數，分析函數的單調性，求出函數的最小值，對函數最小值的符號進行分類討論，由此可得出函數的零點個數.

（1）證法一：令，，

，所以，函數在上單調遞增，

，，，

存在，使，則，可得，

由于函數在上單調遞增，

當時，，此時，函數單調遞減；

當時，，此時，函數單調遞增.

所以，故原不等式成立；

證法二：先證明不等式，構造函數，其中，

則對任意的恒成立，

所以，函數在上單調遞增，則，.

同理可證，，則，

即；

（2）令，得，兩邊取對數得，

令，則，令得.

當時，，此時，函數單調遞減；

當時，，此時，函數單調遞增.

.

①當時，即得時，，函數無零點；

②當時，即得時，，函數有個零點；

③當時，即得時，

當時，；當時，.

此時，函數在區間和區間上各有個零點.

則函數有個零點.

綜上所述，當時，函數無零點；當時，函數有個零點；當時，函數有個零點.