Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面平面，且，，為的中點(diǎn)，．

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，再根據(jù)線面平行的判定可得結(jié)論成立．（2）在中由余弦定理得，于是．在平面內(nèi)，作，交的延長(zhǎng)線于，由條件可得平面，即為點(diǎn)到平面的距離，然后再結(jié)合求解可得所求．

（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接．

∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，

∴為的中位線，

∴，且．

又平面，平面，

∴平面．

（2）在中，，，

由余弦定理得，

∴．

∴．

∵，且為的中點(diǎn)，

∴．

在中，．

在平面內(nèi)，作，交的延長(zhǎng)線于．

∵平面平面，平面平面,

∴平面．

即為點(diǎn)到平面的距離．

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)到平面的距離是長(zhǎng)度的一半．

在中，，

∴．