Question

(本小題滿分13分)

已知橢圓的離心率為，橢圓短軸長為. 

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知動直線與橢圓相交于、兩點(diǎn). ①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；②若點(diǎn)，求證：為定值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）①②

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072812190296843248/SYS201307281220018739767689_DA.files/image005.png">滿足，

。解得，則橢圓方程為 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

（Ⅱ）（1）將代入中得 

 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072812190296843248/SYS201307281220018739767689_DA.files/image012.png">中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得 ┄┄┄┄8分

（2）由（1）知，

所以 

 

；┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分

=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分

考點(diǎn)：本題考查了橢圓方程的求法及直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評：圓錐曲線是歷年高考中比較常見的壓軸題之一，近年高考中其解答難度有逐漸降低的趨勢，通過解析幾何的自身特點(diǎn)，結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識，比如不等式、數(shù)列、函數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)等加以綜合。這就要求在分析、解決問題時要充分利用數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求法、弦長公式及韋達(dá)定理綜合思考，重視函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、對稱思想、等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。