Question

（本題滿分14分）定義在D上的函數(shù)，如果滿足；對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界。
已知函數(shù)，
（1）當時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)在上是以3為上界函數(shù)值，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若，求函數(shù)在上的上界T的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當時，.
∵在上遞增，所以，
即在上的值域為.      …………………………………2分
故不存在常數(shù)，使成立.
所以函數(shù)在上不是有界函數(shù). ……………………………………4分
（2）∵函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，
在上恒成立. ,
在上恒成立.
            ……………………………6分
設，，.
由,得.設，則
，，
所以在 上遞增，在上遞減.
在上的最大值為，在上的最小值為.
所以實數(shù)的取值范圍為.       …………………………………………… 9分
（3））方法一:，.
∵ m>0 ，,.
∴，
∵
∴.           …………………………………………11分
① 當，即時，
，此時；
② 當，即時，
，此時.
綜上所述，當時，的取值范圍是；當時，的取值范圍是   ………………………………………………………14分
方法二: .
令，因為，所以.
.
因為在上是減函數(shù)，所以.…………………11分
又因為函數(shù)在上的上界是，所以.
當時，，;
當時，，.……………………14分

略