Question

【題目】已知圓C：，直線：．

（1）若直線被圓C截得的弦長為 ，求實數的值；

（2）當t =1時，由直線上的動點P引圓C的兩條切線，若切點分別為A，B，則直線AB是否恒過一個定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t =11；（2）

【解析】

（1）根據垂徑定理列式求實數的值；（2）先根據切點A，B在以CP為直徑的圓，再根據兩圓方程得切點弦方程，最后根據動點P在直線上，確定切點弦過定點.

(1)圓C的方程可化為 ,

則圓心C到直線的距離為

又弦長為 ，則

即 ，解得t =11.

（2）當t =1時，圓C的方程為①

則圓心為C（3，5），半徑 ，圓C與直線相離

假設在直線AB上存在一個定點滿足條件，設動點P（m，n），由已知得PA⊥AC，PB⊥BC

則A，B在以CP為直徑的圓（x﹣3）（x﹣m）+（y﹣5）（y﹣n）=0

即②

①﹣②得，直線AB的方程為（m﹣3）x+（n﹣5）y﹣3m﹣5n﹣6=0③

又點P（m，n）在直線上，則m+3n+12=0，即m=﹣3n﹣12，代入③式

得（﹣3n﹣15）x+（n﹣5）y+4n+30=0

即直線AB的方程為15x+5y﹣30+n（3x﹣y﹣4）=0

因為上式對任意n都成立，故 ，得

故直線AB恒過一個定點，定點坐標為