Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 、、均為等邊三角形， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可得，結合箏形的性質可得，進一步證得，結合線面垂直的判斷定理和性質可得平面，則.最后利用線面垂直的判斷定理可得平面.

(Ⅱ)以為原點，建立空間直角坐標系，結合題意可得，平面的法向量為，據此計算可得與平面所成角的正弦值為.

試題解析：

(Ⅰ)因為， ， 為公共邊，

所以，

所以，又，

所以，且為中點.

又，所以，

又，所以，結合，

可得，

所以，

即，又，

故平面，又平面，所以.

又，所以平面.

(Ⅱ)以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

不妨設，易得， ，

則， ， ， ，

所以， ， ，

設平面的法向量為，則

，即，解得，

令得，

設直線與平面所成角為，則

，

所以與平面所成角的正弦值為.