Question

【題目】已知函數f(x)＝|x＋4|－|x－1|.

(1)解不等式f(x)＞3；

(2)若不等式f(x)＋1≤4a－5×2a有解，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）{x|x＞0}.（2）(－∞，0]∪[2，＋∞).

【解析】

（Ⅰ）由題意可得f（x）的分段函數，分類討論，求得不等式f（x）＞3的解集．

（Ⅱ）根據題意可得f（x）的最小值為﹣5，可得4a﹣5×2a﹣1≥﹣5，由此求得實數a的取值范圍．

(1)f(x)＝

當x≤－4時，無解；

當－4＜x＜1時，由2x＋3＞3，

解得0＜x＜1；

當x≥1時，5＞3恒成立，

故原不等式的解集為{x|x＞0}.

(2)將f(x)＋1≤4a－5×2a，即f(x)≤4a－5×2a－1有解，轉化為f(x)min≤4a－5×2a－1.

易知f(x)的最小值為－5，

∴4a－5×2a－1≥－5，

即4a－5×2a＋4≥0，

即2a≥4或2a≤1，∴a≥2或a≤0，

故實數a的取值范圍是(－∞，0]∪[2，＋∞).