Question

【題目】排成一排的10名學生生日的月份均不相同.有名教師，依次挑選這些學生參加個興趣小組，每名學生恰被一名教師挑選，且保持學生的排序不變，每名教師挑出的學生必須滿足生日的月份是逐漸增加或逐漸減少的（挑選一名或兩名學生也認為是逐漸增加或逐漸減少的），每名教師盡可能多地選學生.對于學生所有可能的排序，求的最小值.

Answer 1

【答案】4

【解析】

若，不妨設這10名學生生日的月份分別為.

當學生按生日排序為4,3,2,1,7,6,5,9,8,10時，存在一名教師至少要挑選前四名學生中的兩名，由于這兩名學生生日的月份是逐漸減少的，且后六名學生生日的月份均大于前四名學生生日的月份，因此，這名教師不可能再挑選后六名學生；在余下的不超過兩名教師中，一定存在一名教師至少要挑選第五名至第七名學生中的兩名.同理，這名教師不可能再挑選后三名學生；余下的不超過一名教師也不可能挑選后三名學生，矛盾.

下面證明：對于互不相同的有序實數列，當時，一定存在三個數滿足或.

設最大數、最小數分別為、.

不妨設.

若，則滿足；.

因為，所以，要么在的前面，要么在的后面至少有兩個數.

不妨設在的后面有兩個數.從而，與中一定有一個成立.

引用上面的結論，當時，第一名教師至少可以挑選3名學生；若余下的學生大于或等于5名，則第二名教師也至少可以挑選3名學生；這時，剩下的學生的數目不超過4名，可以被兩名教師全部挑選.

因此，的最小值為4.