Question

已知O為坐標原點，曲線C上的任意一點P到點F（0，1）的距離與到直線l：y=-1的距離相等，過點F的直線交曲線C于A、B兩點，且曲線C在A、B兩點處的切線分別為l₁、l₂．
（1）求曲線C的方程；
（2）求證：直線l₁、l₂互相垂直；
（3）y軸上是否存在一點R，使得直線RF始終平分∠ARB？若存在，求出R點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據P到點F（0，1）的距離與到直線l：y=-1的距離相等滿足拋物線的定義，可直接得到曲線C的方程．
（2）根據（1）中方程求出焦點坐標，然后設直線方程為y=kx+1，聯立直線與拋物線方程消去y得到關于x的一元二次方程，進而可得到兩根之積，再對拋物線方程進行求導得到直線l₁、l₂的斜率，再由k₁k₂=-1可得證．
（3）先假設y軸上存在一點R滿足條件，，再表示出k_AR和k_BR代入到k_AR+k_BR=0中，再由（2）中的兩根之和與兩根之積可得到R的坐標．

解答：解：（1）∵P到點F（0，1）的距離與到直線l：y=-1的距離相等，
∴曲線C是以F（0，1）為焦點，直線y=-1為準線的拋物線，其方程為x²=4y
（2）焦點F（0，1），設直線AB：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線方程與拋物線方程聯立得x²-4kx-4=0，
∴x₁x₂=-4，又y'=

1

2

x，
∴直線l₁的斜率為k₁=

1

2

x₁，直線l₂的斜率為k₂=

1

2

x₂，
∴k₁k₂=

1

4

•x₁x₂=-1，即直線l₁和l₂互相垂直．
（3）假設y軸上存在一點R（0，y₀），使得直線RF始終平分∠ARB，則有k_AR+k_BR=0
∴

y0-y1

0-x1

+

y0-y2

0-x2

=0
∴x₂（y₀-y₁）+x₁（y₀-y₂）=0∴y₀（x₂+x₁）-（x₂y₁+x₁y₂）=0
∴y0(x2+x1)-

1

4

x1x2( x2+x1)=0
∴y₀+1=0∴y₀=-1，即存在R（0，-1）滿足條件．

點評：本題主要考查拋物線的定義、直線與拋物線的綜合問題．考查綜合運用能力．