Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E是棱PD的中點，點F是PC的中點． （Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若底面ABCD為正方形， ，求二面角C﹣AF﹣D大小．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接BD，設AC∩BD=O，連結OE，

∵四邊形ABCD為矩形，∴O是BD的中點，

∵點E是棱PD的中點，∴PB∥EO，

又PB平面AEC，EO平面AEC，

∴PB∥平面AEC．

（Ⅱ）由題可知AB，AD，AP兩兩垂直，

分別以 、 、 的方向為坐標軸方向建立空間直角坐標系．

設由 可得AP=AB，

于是可令AP=AB=AD=2，則

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（1，1，1）

設平面CAF的一個法向量為 ．由于 ，

∴ ，解得x=﹣1，所以 ．

∵y軸平面DAF，∴設平面DAF的一個法向量為 ．

∵ ，∴ ，解得z=﹣1，

∴ ．

∴ ．∴二面角C﹣AF﹣D的大小為60°．

【解析】（Ⅰ）連接BD，設AC∩BD=O，連結OE，推導出PB∥EO，由此能證明PB∥平面AEC．（Ⅱ）分別以 、 、 的方向為坐標軸方向建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣D的大小．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能得出正確答案．