Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+bx和g（x）=lnx． （Ⅰ） 若a=b=1，求證：f（x）的圖象在g（x）圖象的上方；
（Ⅱ） 若f（x）和g（x）的圖象有公共點P，且在點P處的切線相同，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：若a=b=1，即有f（x）=x2+x，

令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+x﹣lnx，h′（x）=2x+1﹣ =

= ，x＞0，

當x＞ 時，h′（x）＞0，h（x）遞增；當0＜x＜ 時，h′（x）＜0，h（x）遞減．

可得h（x）在x= 處取得極小值，且為最小值，且h（ ）= + ﹣ln ＞0，

即有h（x）＞0恒成立，則f（x）的圖象在g（x）圖象的上方；

（Ⅱ）設P的坐標為（m，n），

f（x）=ax2+bx的導數為f′（x）=2ax+b，

g（x）=lnx的導數為g′（x）= ，

可得2am+b= ，且n=am2+bm=lnm，

消去b，可得am2+1﹣2am2=lnm，

可得a= （m＞0），

令u（m）= （m＞0），

則u′（m）= ，

當m＞e 時，u′（m）＞0，u（m）遞增；當0＜m＜e 時，u′（m）＜0，u（m）遞減．

可得u（m）在m=e 處取得極小值，且為最小值，且u（e ）= =﹣ ，

則a≥﹣ ，

故a的取值范圍是[﹣ ，+∞）

【解析】（Ⅰ）令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+x﹣lnx，求出導數和單調區間，可得極小值，且為最小值，判斷最小值大于0，即可得證；（Ⅱ）設P的坐標為（m，n），分別求出f（x），g（x）的導數，可得切線的斜率，即有2am+b= ，且n=am2+bm=lnm，消去b，可得a= （m＞0），令u（m）= （m＞0），求出導數和單調區間、極值和最值，即可得到所求范圍．
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．