Question

已知函數y=ln

2-x

x-(3m+1)

的定義域為集合A，集合 B={x|

x-(m2+1)

x-m

＜0}．
（Ⅰ）當m=3時，求A∩B；
（Ⅱ）求使B⊆A的實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m=3代入，即可求得集合A、B，進而求出A∩B．
（Ⅱ）對m分m=

1

3

、m＞

1

3

、m＜

1

3

三種情況分別討論，求出m的取值范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）當m=3時，函數y=ln

2-x

x-10

，
∵

2-x

x-10

＞0，解得2＜x＜10，
∴函數y=

2-x

x-10

的定義域為A={x|2＜x＜10}．
集合B={x|

x-10

x-3

＜0}．
∵

x-10

x-3

＜0，解得3＜x＜10，
∴集合B={x|3＜x＜10}．
∴A∩B={x|3＜x＜10}．
（Ⅱ）∵m²+1＞m，∴B={x|m＜x＜m²+1}．
①若m=

1

3

時，A=∅，此時不滿足B⊆A，∴應舍去．
②若m＞

1

3

時，A={x|2＜x＜3m+1}，要使B⊆A，必須滿足

m≥2 m2+1≤3m+1

，解得2≤m≤3．
③若m＜

1

3

時，A={x|3m+1＜x＜2}，要使B⊆A，必須滿足

m≥3m+1 m2+1＜2

，解得-1≤m≤-

1

2

．
綜上可知：m的取值范圍是[-1，-

1

2

]∪[2，3]．

點評：本題考查了集合的運算、集合間的關系及函數的定義域，深刻理解以上知識和正確分類討論是解決問題的關鍵．