Question

（2014•嘉定區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2

3

cos2x-

3

，x∈R．
（I ）求函數(shù)f（x）的周期和最小值；
（II）在銳角△ABC中，若f（A）=1，

.

AB

•

.

AC

=

2

，，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：將函數(shù)解析式第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，后兩項(xiàng)提取

3

，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（I）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小值正周期；由正弦函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的最小值；
（II）由第一問確定的函數(shù)解析式及f（A）=1，得到關(guān)系式，根據(jù)A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡而

AB

•

AC

=

2

，得到|

AB

|•|

AC

|的值，再由sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：f（x）=2sinxcosx+

3

（2cos²x-1）=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
（Ⅰ）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1，即-2≤2sin（2x+

π

3

）≤2，
∴f（x）的最小值為-2；
（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A+

π

3

）=1，
∴sin（2A+

π

3

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴2A+

π

3

=

5π

6

，即A=

π

4

，
而

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA=

2

，
∴|

AB

|•|

AC

|=2，
則S_△ABC=

1

2

|

AB

|•|

AC

|sinA=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域與值域，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．