Question

（2014•嘉定區一模）設集合A={（x，y）|（x-4）²+y²=1}，B={（x，y）|（x-t）²+（y-at+2）²=1}，如果命題“?t∈R，A∩B≠∅”是真命題，則實數a的取值范圍是

0≤a≤

4

3

．

Answer 1

分析：首先要將條件進行轉化，即命題P：A∩B≠空集為假命題，再結合集合A、B的特征利用數形結合即可獲得必要的條件，解不等式組即可獲得問題的解答．

解答：解：∵A={（x，y）|（x-4）²+y²=1}，表示平面坐標系中以M（4，0）為圓心，半徑為1的圓，
B={（x，y）|（x-t）²+（y-at+2）²=1}，表示以N（t，at-2）為圓心，半徑為1的圓，且其圓心N在直線ax-y-2=0上，如圖．
如果命題“?t∈R，A∩B≠∅”是真命題，即兩圓有公共點，則圓心M到直線ax-y-2=0的距離不大于2，
即

|4a-2|

a2+1

≤2，解得0≤a≤

4

3

．
∴實數a的取值范圍是0≤a≤

4

3

；
故答案為：0≤a≤

4

3

．

點評：本題考查的是集合運算和命題的真假判斷與應用的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了圓的知識、集合運算的知識以及命題的知識．同時問題轉化的思想也在此題中得到了很好的體現．值得同學們體會和反思．