Question

如圖，是拋物線的焦點，為準線與軸的交點，直線經過點．
（Ⅰ）直線與拋物線有唯一公共點，求的方程；
（Ⅱ）直線與拋物線交于、兩點記、的斜率分別為，．

（1）求證：為定值；　
（2）若點在線段上，且滿足
，求點的軌跡方程．

Answer 1

為定值．，軌跡方程為.

解：由已知得，顯然直線的斜率存在。設直線的斜率為，則的方程為
，代入拋物線方程得
⑴ 若，令，此時的方程為
即或。若，方程有唯一解，此時的方程為．
綜上，所求直線的方程為：或或．
⑵ 顯然，記，則   
，  
①
∵ ∴ 即為定值．
②設動點，∵，       ∴ 
        ∴
令且
∴    ∴ 
綜上，點的軌跡方程為.