Question

【題目】已知函數在內有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），其中a為常數.

（1）求實數a的取值范圍；

（2）求證：x1+x2＞2.

Answer 1

【答案】（1）a＞1；（2）證明見解析.

【解析】

（1）轉化問題為有兩個變號零點,設,利用導函數可得在上單調遞增,則,即轉化問題為有兩個變號零點,即,則,設,則直線y=a與在x∈（0,+∞）有兩個交點,進而利用導函數求的最值,即可求解；

（2）由（1）,若x1+x2＞2,則g（x2）＞g（2﹣x1）,即g（x1）＞g（2﹣x1）,構造函數F（x）=g（x）﹣g（2﹣x）,進而證明x∈（0，1）時F（x）＞0即可.

（1）因為,

由題意知x1，x2是導函數的變號零點,

令,則,所以在上單調遞增,

又,所以,

所以x1，x2是的兩個零點,即,則,

又令,則g（x1）=g（x2）,

從而只需直線y=a與函數g（x）的圖象在x∈（0,+∞）上有兩個交點,

由可得當時,；當時,,

所以g（x）在（0,1）遞減,在（1,+∞）遞增,

從而,

所以a＞1.

（2）證明:由（1）知,0＜x1＜1＜x2,

若不等式x1+x2＞2成立,則g（x2）＞g（2﹣x1）,即g（x1）＞g（2﹣x1）,

令F（x）=g（x）﹣g（2﹣x）,x∈（0，1）,則只需F（x）＞0,

而,只需研究的符號,

因為,,

所以,

所以,則,

所以,

即x1+x2＞2成立.