Question

已知函數
(I)當a=1時,求函數f(x)的最小值;
(II)當a≤0時,討論函數f(x)的單調性;
(III)是否存在實數a,對任意的x₁,x₂(0,+∞),且x₁≠x₂,都有恒成立.若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.

Answer 1

(I)-2ln2
(II)當時，和為單調增區間，為單調減區間；當a=-2時，為單調增區間；當a<-2時，和為單調增區間，為單調減區間.
(III)存在.

試題分析：(I) 首先確定函數的定義域，然后求導，根據函數導函數的性質，確定函數的單調區間，判斷極小值就是最小值，求出即可. (II) 求導、同分整理得.再分當或當a=-2或a<-2時，判斷的符號，確定函數單調區間即可. (III) 假設存在實數a使得對任意的，且，都有恒成立. 不妨設，使得，即，構造函數令，利用導函數求出滿足函數g（x）在為增函數的a取值范圍即可.
試題解析：解：(I)定義域為，當a=1時，，所以當時，，，所以f（x）在x=2時取得最小值，其最小值為.
(II) 因為，所以
（1）當時，若，，f（x）為增函數；時，，f（x）為減函數；時， ，f（x）為增函數；
（2）當a=-2時，，f（x）為增函數；
（3）當a<-2時，時， ，f（x）為增函數；時,，f（x）為減函數；, ，f（x）為增函數；
(III)假設存在實數a使得對任意的，且，都有恒成立，不妨設，使得，即，
令，只要g（x）在為增函數，考察函數，要使在恒成立.只需，即，故存在實數符合題意.