Question

（本題滿分14分）

已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

	1		2
		0	4

（Ⅰ）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)曲線的的焦點(diǎn)的直線與曲線交于M、N兩點(diǎn)，與軸交于E點(diǎn)，

若為定值。

Answer 1

（本題滿分14分）

解：（Ⅰ）設(shè)拋物線，則有，據(jù)此驗(yàn)證個(gè)點(diǎn)知（1，）、（2，4）在拋物線上，易求      ………………2分

       設(shè)：，把點(diǎn)（，0）（，）代入得：

方程為………………………………………………………5分

（Ⅱ）證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

       又易知點(diǎn)的坐標(biāo)為．且點(diǎn)在橢圓內(nèi), 故過(guò)點(diǎn)的直線l必與橢圓相交．

         ∵， ∴．

         ∴ ，．   ………………………………………………8分

       將M點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中得：，

       去分母整理，得． ………………………………………10分

       同理，由可得：． ………………………12分

       ∴ ，是方程的兩個(gè)根， ∴ ．………14分