Question

(本小題13分) 如圖所示, PQ為平面的交線, 已知二面角為直二面角,  , ∠BAP＝45°.

（1）證明: BC⊥PQ;
（2）設點C在平面內的射影為點O, 當k取何值時, O在平面ABC內的射影G恰好為△ABC的重心？
（3）當時, 求二面角B－AC－P的大小.

Answer 1

（1）證明見解析
（2）k＝1
（3）

（1）在平面內過點C作CE⊥PQ于點E, 由題知點E與點A不重合, 連接EB.

, 即點C在平面內的射影為點E,
所以.
又.
, 故 BE⊥PQ, 又
, ,
平面EBC, 故BC⊥PQ.
（2）由（1）知, O點即為E點, 設點F是O在平面ABC內的射影, 連 接BF并延長交AC于點D, 由題意可知, 若F是△ABC的重心, 則點D為AC的中點.
, 平面角為直二面角, , 由三垂線定理可知AC⊥BF, 即AC⊥BD, , 即k＝1；反之, 當k＝1時, 三棱錐O—ABC為正三棱錐, 此時, 點O在平面ABC內的射影恰好為△ABC的重心.
（3）由（2）知, 可以O為原點, 以OB、OA、OC所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系O—xyz(如圖所示) 

不妨設, 在Rt△OAB中, ∠ABO＝∠BAO＝45°, 所以BO＝AO＝, 由CA＝CB＝kAB且得, AC＝2, , 則.
所以
設是平面ABC的一個法向量, 由得
取x="1," 得
易知是平面的一個法向量,
設二面角B－AC－P的平面角為, 所以, 由圖可知,
二面角B－AC－P的大小為.