Question

某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
（1）該小組已經測得一組α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請據此算出H的值；
（2）該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度．若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，α-β最大？

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABE中可得AD=

H

tanβ

，在Rt△ADE中可得AB=

H

tanα

，BD=

h

tanβ

，再根據AD-AB=DB即可得到H．
（2）先用d分別表示出tanα和tanβ，再根據兩角和公式，求得tan（α-β）=

h

d+ H(H-h) d

，再根據均值不等式可知當d=

H(H-h)

=

125×121

=55

5

時，tan（α-β）有最大值即α-β有最大值，得到答案．

解答：解：（1）

H

AD

=tanβ?AD=

H

tanβ

，同理：AB=

H

tanα

，BD=

h

tanβ

．
AD-AB=DB，故得

H

tanβ

-

H

tanα

=

h

tanβ

，
得：H=

htanα

tanα-tanβ

=

4×1.24

1.24-1.20

=124．
因此，算出的電視塔的高度H是124m．
（2）由題設知d=AB，得tanα=

H

d

，tanβ=

H

AD

=

h

DB

=

H-h

d

，
tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanα•tanβ

=

H d - H-h d

1+ H d • H-h d

=

hd

d2+H(H-h)

=

h

d+ H(H-h) d

d+

H(H-h)

d

≥2

H(H-h)

，（當且僅當d=

H(H-h)

=

125×121

=55

5

時，取等號）
故當d=55

5

時，tan（α-β）最大．
因為0＜β＜α＜

π

2

，則0＜α-β＜

π

2

，所以當d=55

5

時，α-β最大．
故所求的d是55

5

m．

點評：本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應用．當涉及最值問題時，可考慮用不等式的性質來解決．