Question

【題目】已知函數f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）當a＞1時，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），則 解得﹣1＜x＜1．

故所求定義域為{x|﹣1＜x＜1}

（2）解：f（x）為奇函數

由（1）知f（x）的定義域為{x|﹣1＜x＜1}，

且f（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1+x）=﹣[loga（x+1）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x），

故f（x）為奇函數

（3）解：因為當a＞1時，f（x）在定義域{x|﹣1＜x＜1}內是增函數，

所以 ．

解得0＜x＜1．

所以使f（x）＞0的x的取值范圍是{x|0＜x＜1}

【解析】（1）根據對數的性質可知真數大于零，進而確定x的范圍，求得函數的定義域．（2）利用函數解析式可求得f（﹣x）=﹣f（x），進而判斷出函數為奇函數．（3）根據當a＞1時，f（x）在定義域{x|﹣1＜x＜1}內是增函數，可推斷出f（x）＞0，進而可知 進而求得x的范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的奇偶性和對數的運算性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱；①加法：②減法：③數乘：④⑤．