Question

已知曲線C：f(x)=

1

3

x3+

4

3

，
（1）求曲線在點（2，4）處的切線方程；
（2）求過點（2，4）的切線方程．

Answer 1

（1）∵P（2，4）在曲線 y=

1

3

x³+

4

3

上，且y'=x²
∴在點P（2，4）處的切線的斜率k=y'|_x=2=4；
∴曲線在點P（2，4）處的切線方程為y-4=4（x-2），即4x-y-4=0．
（2）設曲線 y=

1

3

x³+

4

3

與過點P（2，4）的切線相切于點A（x₀，

1

3

x

30

+

4

3

），
則切線的斜率 k=y′|x=x0=x02，
∴切線方程為y-（

1

3

x

30

+

4

3

）=x₀²（x-x₀），
即 y=x

20

•x-

2

3

x

30

+

4

3

，
∵點P（2，4）在切線上，
∴4=2x₀²-

2

3

x

30

+

4

3

，
即x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0．