Question

已知曲線C：f(x)=

1

3

x3+

4

3

，
（1）求曲線在點（2，4）處的切線方程；
（2）求過點（2，4）的切線方程．

Answer 1

分析：（1）根據曲線的解析式求出導函數，把P的橫坐標代入導函數中即可求出切線的斜率，根據P的坐標和求出的斜率寫出切線的方程即可；
（2）設出曲線過點P切線方程的切點坐標，把切點的橫坐標代入到（1）求出的導函數中即可表示出切線的斜率，根據切點坐標和表示出的斜率，寫出切線的方程，把P的坐標代入切線方程即可得到關于切點橫坐標的方程，求出方程的解即可得到切點橫坐標的值，分別代入所設的切線方程即可．

解答：解：（1）∵P（2，4）在曲線 y=

1

3

x³+

4

3

上，且y'=x²
∴在點P（2，4）處的切線的斜率k=y'|_x=2=4；
∴曲線在點P（2，4）處的切線方程為y-4=4（x-2），即4x-y-4=0．
（2）設曲線 y=

1

3

x³+

4

3

與過點P（2，4）的切線相切于點A（x₀，

1

3

x

3 0

+

4

3

），
則切線的斜率 k=y′|x=x0=x02，
∴切線方程為y-（

1

3

x

3 0

+

4

3

）=x₀²（x-x₀），
即 y=x

2 0

•x-

2

3

x

3 0

+

4

3

，
∵點P（2，4）在切線上，
∴4=2x₀²-

2

3

x

3 0

+

4

3

，
即x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0．

點評：此題考查學生會利用導數研究曲線上某點的切線方程，是一道綜合題．學生在解決此類問題一定要分清“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”；同時解決“過某點的切線”問題，一般是設出切點坐標解決．