Question

是否存在常數a、b、c，使等式(

1

n

)3+(

2

n

)3+(

3

n

)3+…+(

n

n

)3=

an2+bn+c

n

對一切n∈N^*都成立？證明你的結論．

Answer 1

分析：先假設存在符合題意的常數a，b，c，再令n=1，n=2，n=3構造三個方程求出a，b，c，再用用數學歸納法證明成立，證明時先證：（1）當n=1時成立．（2）再假設n=k（k≥1）時，成立，即(

1

k

)3+(

2

k

)3+(

3

k

)3+…+(

k

k

)3=

ak2+bk+c

k

，再遞推到n=k+1時，成立即可．

解答：證明：假設存在符合題意的常數a，b，c，
在等式(

1

n

)3+(

2

n

)3+(

3

n

)3+…+(

n

n

)3=

an2+bn+c

n

中，
令n=1，得1=a+b+c     ①
令n=2，得(

1

2

)3+(

2

2

)3=2a+b+

c

2

   ②
令n=3，得(

1

3

)3+(

2

3

)3+(

3

3

)3=

a×32+b×3+c

3

=3a+b+

c

3

   ③
由①②③解得a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，
于是，對于n=1，2，3都有
(

1

n

)3+(

2

n

)3+(

3

n

)3+…+(

n

n

)3=

1 4 n2+ 1 2 n+ 1 4

n

=

(n+1)2

4n

（*）成立．
下面用數學歸納法證明：對于一切正整數n，（*）式都成立．
（1）當n=1時，由上述知，（*）成立．
（2）假設n=k（k≥1）時，（*）成立，
即(

1

k

)3+(

2

k

)3+(

3

k

)3+…+(

k

k

)3=

(k+1)2

4k

那么當n=k+1時，
(

1

k+1

)3+(

2

k+1

)3+(

3

k+1

)3+…+(

k

k+1

)3+(

k+1

k+1

)3
=(

k

k+1

)3×[(

1

k

)3+(

2

k

)3+(

3

k

)3+…+(

k

k

)3]+(

k+1

k+1

)3
=(

k

k+1

)3×

(k+1)2

4k

+(

k+1

k+1

)3
=

k2

4(k+1)

+1=

(k+2)2

4(k+1)

=

[(k+1)+1]2

4(k+1)

由此可知，當n=k+1時，（*）式也成立．
綜上所述，當a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

時題設的等式對于一切正整數n都成立．

點評：本題主要考查研究存在性問題和數學歸納法，對存在性問題先假設存在，再證明是否符合條件，數學歸納法的關鍵是遞推環節，要符合假設的模型才能成立．