Question

是否存在常數(shù)a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）對(duì)于任意的n∈N₊總成立？若存在，求出來(lái)并證明；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：可假設(shè)存在常數(shù)a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）對(duì)于任意的n∈N₊總成立，令n=1與n=2列方程解得a，b再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：假設(shè)存在常數(shù)a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）對(duì)于任意的n∈N₊總成立，
令n=1與n=2得：

1=a(1+b)×3 1×2+2×1=2a(2+b)×4

解得：

a= 1 6 b=1

，
即1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=

1

6

n（n+1）（n+2）．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1×1=1，右邊=

1

6

×1×1×（1+1）×（1+2）=1，因此左邊=右邊，
∴當(dāng)n=1時(shí)等式成立，
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，
即1×k+2×（k-1）+3×（k-2）+…+k×1=

1

6

k（k+1）（k+2），
那么當(dāng) n=k+1時(shí)，
1×（k+1）+2×[（k+1）-1]+3×[（k+1）-2）]+…+（k+1）×1
=[1×k+2×（k-1）+3×（k-2）+…+k×1]+[1+2+3+…+（k+1）]
=

1

6

k（k+1）（k+2）+

(1+k+1)•(k+1)

2

=

1

6

（k+1）（k+2）（k+3）
=

1

6

（k+1）[（k+1）+1][（k+1）+2]
所以，當(dāng) n=k+1時(shí)等式也成立．
根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N₊都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)于本題“是否存在”型的問(wèn)題，先假設(shè)存在，通過(guò)題意求得a、b的值，再用數(shù)學(xué)歸納法予以證明，難點(diǎn)在于n=k+1時(shí)，等式成立的證明，要用好歸納假設(shè)，屬于中檔題．