Question

命題
①函數y=f（x）的圖象與直線x=a最多有一個交點；
②函數y=-x²+2ax+1在區間（-∞，2]上單調遞增，則a∈（-∞，2]；
③若f(x+2)=

1

f(x)

，當x∈（0，2）時，f（x）=2^x，則f(2011)=

1

2

；
④函數y=log₂（x²+ax+2）的值域為R，則實數a的取值范圍是(-2

2

，2

2

)；
⑤函數y=f（1+x）與y=f（-x-1）的圖象關于y軸對稱；
以上命題正確的個數有（　　）個．

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：根據函數的定義可知，函數y=f（x）的圖象與直線x=a的交點時0個或1個；函數y=-x²+2ax+1的對稱軸為：直線x=a，開口向下，因為函數在區間（-∞，2]上單調遞增，所以a≥2；根據f(x+2)=

1

f(x)

，可知函數的周期為4，所以f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1），因為f(1)=

1

f(-1)

，f（1）=2，所以f（-1）=

1

2

；根據函數y=log₂（x²+ax+2）的值域為R，可知t=x²+ax+2可取遍一切正數，從而可求實數a的取值范圍是(-∞，-2

2

)∪(2

2

，+∞)；函數y=f（1+x）的圖象是由函數y=f（x）的圖象向左平移一個單位得到，y=f（-x-1）的圖象是由y=f（-x）的圖象向左平移一個單位得到，而y=f（x）的圖象與y=f（-x）的圖象關于y軸對稱，所以函數y=f（1+x）與y=f（-x-1）的圖象關于x=1對稱，故可判斷．

解答：解：根據函數的定義可知，函數y=f（x）的圖象與直線x=a的交點時0個或1個，即最多有一個交點，故①正確；
函數y=-x²+2ax+1的對稱軸為：直線x=a，開口向下．因為函數在區間（-∞，2]上單調遞增，所以a≥2，故②錯誤；
∵f(x+2)=

1

f(x)

，∴f(x+4)=

1

f(x+2)

=f(x)，∴函數的周期為4，∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1），∵f(1)=

1

f(-1)

，當x∈（0，2）時，f（x）=2^x，∴f（1）=2，∴f（-1）=

1

2

，故③正確；
∵函數y=log₂（x²+ax+2）的值域為R，∴t=x²+ax+2可取遍一切正數，∴△=a²-8≥0，∴實數a的取值范圍是(-∞，-2

2

]∪[2

2

，+∞)，故④錯誤；
∵函數y=f（1+x）的圖象是由函數y=f（x）的圖象向左平移一個單位得到，y=f（-x-1）的圖象是由y=f（-x）的圖象
向左平移一個單位得到，而y=f（x）的圖象與y=f（-x）的圖象關于y軸對稱，所以函數y=f（1+x）與y=f（-x-1）的圖象關于x=1對稱，故⑤錯誤
故正確的命題是：①③
故選A．

點評：本題以命題為載體，考查函數的定義，二次函數的單調性，考查函數的值域，考查函數圖象的對稱性，綜合性強，涉及知識點多