Question

已知函數f(x)=x³+ax²+b的圖象上的一點P(1,0),且在點P處的切線與直線3x+y=0平行.

(1)求函數f(x)的解析式;

(2)求函數f(x)在區間［0,t］(0＜t＜3)上的最大值和最小值.

(3)在(1)的結論下,關于x的方程f(x)=c在區間［1,3］上恰有兩個相異的實根,求實數c的取值范圍.

Answer 1

思路分析:由導數的幾何意義寫出過P點的切線方程,結合已知條件求出a,b,利用導數求最值,注意對參數t的討論.求c的范圍要借助函數的單調性,用方程的觀點列不等式.

解:(1)因為f′(x)=3x²+2ax,所以曲線在P(1,0)處的切線斜率為f′(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.

又函數過(1,0)點,即-2+b=0,b=2.

所以a=-3,b=2,f(x)=x³-3x²+2.

(2)由f(x)=x³-3x²+2,f′(x)=3x²-6x.由f′(x)=0,得x=0或x=2.

①當0＜t≤2時,在區間(0,t)上f′(x)＜0,f(x)在［0,t］上是減函數,所以f(x)_max=f(0)=2,f(x)_min=f(t)=t³-3t²+2.

②當2＜t＜3時,當x變化時,f′(x)、f(x)的變化狀態見下表:

x	0	(0,2)	2	(2,t)	t
f′(x)	0	-	0	+	+
f(x)	2	?↘	-2	?↗	t3-3t2+2

f(x)_min=f(2)=-2.

f(x)_max為f(0)與f(t)中較大的一個.

f(t)-f(0)=t³-3t²=t²(t-3)＜0.

所以f(x)_max=f(0)=2.

(3)令g(x)=f(x)-c=x³-3x²+2-c,g′(x)=3x²-6x=3x(x-2).

在x∈［1,2)上,g′(x)＜0;在x∈(2,3］上,g′(x)＞0.

要使g(x)=0在［1,3］上恰有兩個相異的實根,則