Question

(本小題滿分12分)

定義在D上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界．

已知函數；．

（1）   當a=1時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；

（2）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍；

（3）若，函數在上的上界是，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數在上不是有界函數．

（2）實數a的取值范圍為

（3）當時，的取值范圍是；

當時，的取值范圍是

【解析】解：(1) 當時， 

因為在上遞減，所以，即在的值域為

故不存在常數，使成立

所以函數在上不是有界函數．  

       (2) 由題意知，在上恒成立．

，    

∴ 在上恒成立

∴ 

設，，，由得 t≥1，

設，

所以在上遞減，在上遞增，

在上的最大值為，在上的最小值為 

所以實數a的取值范圍為

(3) ，

∵ m > 0  ，     

∴ 在上遞減，∴     即 

①當，即時，，此時，

②當，即時，， 此時，  

綜上所述，當時，的取值范圍是；

當時，的取值范圍是．