Question

【題目】如圖所示，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記的面積為

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）利用橢圓的方程求得A，B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式和b，求得三角形面積表達(dá)式，利用基本不等式求得其最大值．

（2）把直線與橢圓方程聯(lián)立，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求得AB的長(zhǎng)度的表達(dá)式，利用O到直線AB的距離建立方程求得b和k的關(guān)系式，求得k．則直線的方程可得．

（1）由題意得，此時(shí)，

將代入橢圓方程得：，，所以，，

,

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為1.

（2）由得（*），其中，

當(dāng)時(shí)，設(shè)， 方程（*）兩個(gè)不等根為，則有

，

,

,

，①

由得，到直線距離為1，則，即，

代入①化簡(jiǎn)得，，所以，，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，

又因?yàn)?/span>，所以，直線的方程為.