Question

【題目】已知橢圓，圓，圓：，橢圓C與圓C1、圓C2均相切．

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l與圓C1相切同時與橢圓C交于A、B兩點，求|AB|的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由橢圓C與圓C1、圓C2均相切，可得出橢圓的與圓C1、圓C2半徑的關系，進而求出橢圓C的方程；

（2）假設直線l方程，由直線方程與橢圓C方程聯立，計算出弦長|AB|，根據直線與圓相切需滿足的條件進一步求出|AB|的最大值.

（1）由題易知的半徑，圓的半徑．

又橢圓與同時相切，則，

則橢圓C的方程：．

（2）①當斜率為0時，與橢圓相切，不符合題意．

②當斜率不為0時，設：，

原點到的距離，即.

由

可得：，

設，由韋達定理得：

，，

，

可得，

令，則，

=3t+在上單調遞增，

則，即時，．