Question

設

e1

、

e2

是同一平面內所有向量的一組基底，則下列各組向量中，不能作為基底的是（　　）

• A．

  e1

  +

  e2

  與

  e1

  -

  e2

• B．2

  e1

  -3

  e2

  與4

  e1

  -6

  e2

• C．

  e1

  +2

  e2

  與2

  e1

  +

  e2

• D．

  e1

  +

  e2

  與

  e2

Answer 1

分析：利用平面向量的基本定理即可判斷出結論．

解答：解：A．假設存在非0實數λ，μ使得λ(

e1

+

e2

)+μ(

e1

-

e2

)=

0

，化為(λ+μ)

e1

+(λ-μ)

e2

=

0

，∵

e1

、

e2

是同一平面內所有向量的一組基底，
∴

λ+μ=0 λ-μ=0

，解得λ=μ=0．與假設矛盾，因此

e1

+

e2

與

e1

-

e2

能作為基底．
B．∵4

e1

-6

e2

=2(2

e1

-3

e2

)，∴向量2

e1

-3

e2

與4

e1

-6

e2

共線，不能作為基底．
C．假設存在非0實數λ，μ使得λ(

e1

+2

e2

)+μ(2

e1

+

e2

)=

0

，化為(λ+2μ)

e1

+(2λ+μ)

e2

=

0

，
∵

e1

、

e2

是同一平面內所有向量的一組基底，∴

λ+2μ=0 2λ+μ=0

，解得λ=μ=0．
與假設矛盾，因此

e1

+2

e2

與2

e1

+

e2

能作為基底．
D．假設存在非0實數λ，μ使得λ(

e1

+

e2

)+μ

e2

=

0

，化為λ

e1

+(λ+μ)

e2

=

0

，∵

e1

、

e2

是同一平面內所有向量的一組基底，∴

λ=0 λ+μ=0

，解得λ=μ=0．與假設矛盾，
因此

e1

+

e2

與

e1

-

e2

能作為基底．
綜上可知：只有B不能作為基底．

點評：熟練掌握平面向量的基本定理是解題的關鍵．