Question

已知函數，其中為常數．
（1）當時，求函數的單調遞增區間；
（2）若任取，求函數在上是增函數的概率．

Answer 1

（Ⅰ）函數的單調遞增區間分別為和；（Ⅱ）函數在上是增函數的概率為．

試題分析：（Ⅰ）求函數的單調遞增區間，首先將代入，我們易求出函數的解析式，從而求出函數的導函數后，令導函數的函數值大于等于0，由此構造關于的不等式，解不等式即可得到函數的單調遞增區間；（Ⅱ）求函數在上是增函數的概率，這是一個幾何概型問題，我們可以先畫出，對應的平面區域的面積，然后再求出滿足條件函數在上是增函數時對應的平面區域的面積，計算出對應的面積后，代入幾何概型公式即可得到答案．
試題解析：（1）當時，， 
令，,解得或，
故函數的單調遞增區間分別為和 
（2）
若函數在上是增函數，則對于任意，恒成立．
所以，，即           8分
設“在上是增函數”為事件，則事件對應的區域為

全部試驗結果構成的區域，
所以，
故函數在上是增函數的概率為